調停で取り決めた養育費の減額は、元妻がいうように再度調停で取り決めたほうがよいと思います。
調停調書は債務名義として有効なので、口約束で養育費の減額を定めることに不安があります。

さて、戸籍謄本の取り寄せ方法ですが、郵送で取り寄せできます。
ネットで検索をすれば、郵送取寄用のフォーマットをダウンロードできると思います。

【必要なもの】
・戸籍謄本請求書
・定額小為替(郵便局で購入します。)
・返信用封筒

戸籍謄本は実子なので請求できますが、理由について不安であれば、以下を参考になさって下さい。(法務省民事局HPから引用)

自分の権利を行使したり、自分の義務を履行したりするために戸籍の記載事項を確認する必要があるような場合や、国等に提出する必要があるような場合等をいいます。

具体的な例としては、「1)提出先は○○家庭裁判所であり、2)請求者(甲)は、平成○年○月○日に死亡した弟乙の相続人(兄)であるが、乙の遺産についての遺産分割調停の申立てに際して添付資料として乙が記載されている戸籍謄本を提出する必要がある」というような場合です。

改正戸籍法(平成20年5月1日施行)
第1 戸籍の謄本等の交付請求
1 交付請求
(1) 　戸籍に記載されている者等による請求
ア 　戸籍に記載されている者又はその配偶者、直系尊属若しくは直系卑属は、その戸籍の謄本若しくは抄本又は戸籍に記載した事項に関する証明書(以下「戸籍謄本等」という。)の交付の請求をすることができるものとする。(第10条第1項関係)
イ 　市町村長は、アの請求が不当な目的によることが明らかなときは、これを拒むことができるものとする。(第10条第2項関係)

All About 回答/2008.12.26/阿部マリ